Les extrémités de cet arc d’ellipse sont à la verticale des centres de courbure de l’ellipse de base aux sommets de son grand axe.

Preuve :  Soit (E) l’ellipse de base de représentation paramétrique : M(t)

Alors est un vecteur tangent à (E) au point M(t)

Soit H un point de la crête, tel qu’un grain de sable

 partant de H s’écoule jusqu’à M.

Les règles d’écoulement font que et sont

orthogonaux.

Soit H’ le projeté orthogonal de H sur (Ox), alors

on a H’(x’ ;0) et ,

et  et  sont aussi orthogonaux.

Avec sin(t)g 0, mais on peut prolonger par continuité pour t = kπ.

   On a donc H(x’,0 ; z(t))

Soit  avec a l’angle de la pente de sable avec la plaque.

Alors

On a maintenant une représentation paramétrique de la crête.

On en tire que :   d’où 

Les sommets de la crête correspondent à z = 0 ; et ont donc pour abscisses

Ce sont donc les foyers de l’ellipse (E)

La crête se prolonge jusqu’aux points où la tangente a une pente égale à la pente du tas de sable.

Alors le tas de sable s’évase, et il n’y a plus de ligne de crête.

La crête s’arrête en H(0) et H(π).

Pour x positif,  H’(0) a pour abscisse .

Aux sommets du grand axe de l’ellipse (E), le rayon de courbure vaut :

 pour t = kp.

L’abscisse, positive, du centre de courbure est alors   cqfd.