Cas des "plaques rondes"
REGLES DE BASES
La pente du tas de sable forme un angle constant avec la plaque.
Le tas de sable est engendré par le déplacement, le long du bord de la plaque, d'une droite appelée génératrice.
La génératrice forme un angle constant avec la plaque. Elle correspond à la ligne de plus grande pente le long du tas de sable. C'est à dire qu'un grain de sable tombe le long de la génératrice.
La surface engendrée par la génératrice se recoupe engendrant les arêtes du tas de sable. Ce sont ces arêtes qu'il convient d'étudier.
Les arêtes sont équidistantes des bords correspondants de la plaque.
Le projeté orthogonal d'une arête sur la plaque est équidistant des bords correspondants de la plaque.
NATURE DES ARETES
On se limitera au cas où le bord de la plaque est formé de segments rectilignes et d'arcs de cercle. Alors les surfaces engendrées par le déplacement de la génératrice sont les plans ou des cônes de révolution. Les arêtes sont donc des intersections de ces surfaces.
Les arêtes sont des segments de droites ou des morceaux de coniques.
1.Arêtes entre deux côtés rectilignes
Comme pour les polygones convexes, on a l'intersection de deux plans. On obtient donc une droite dont le projeté orthogonal est la bissectrice de l'angle formé par les deux bords correspondants de la plaque.
2 Arêtes entre un côté rectiligne et un côté circulaire
On a l'intersection d'un plan et d'un cône de révolution. L'angle que forme le plan avec la plaque horizontale étant le même que l'angle formé par la génératrice du cône de révolution, l'intersection des surfaces sera une parabole.
1°cas : l'arc de cercle et le segment ne sont pas sécants
tout grain de sable qui tombe plus près de (C) ira du côté de (C) et idem pour (S).Le projeté orthogonal de l'arête sur la plaque sera donc l'ensemble des points équidistants de (C) et de (S).
On a : MH'=MH'' donc MH' + R= MH'' + R ou OM=MH
On obtient la parabole (P) de foyer O et de directrice (D)
2° cas : l'arc de cercle et le segment sont sécants
On a MH'=MH'' donc MH'+R=MH''+R ou OM=MH
On obtient la parabole (P) de foyer O et de directrice (D).
Les lignes de niveau de la surface sont obtenues en arasant le tas de sable à une hauteur donnée.Elles sont formées de segments rectilignes pour la partie plane, et d'arcs de cercle pour la partie conique.C'est l'intersection des segments et des arcs de cercle qui est une portion de parabole.
3.Arête entre deux côtés circulaires
Lemme : L'intersection de deux cônes de révolution, de même angle au sommet, est plane.
Preuve : Sans restreindre la généralité du problème on peut supposer le plan rapporté à un repère où le sommet du premier cône est l'origine du repère, et le sommet (Oméga) du deuxième cône a pour coordonnées (a; 0;b).
Les cônes ont alors pour équations :
z² = (x² / a²) + (y² / a²) et (z - b)² = ((x - a)² / a²) + (y² / a²)
Leur intersection vérifiant les deux équations, on obtient le système :
z² = (1 / a²) * (x² + y²)
z² - 2bz + b² = (1 / a²) * (x² - 2ax + a² +y²)
Par soustraction on obtient 2bz = (1 / a²) * (2ax + a²) - b² qui est l'équation d'un plan (cqfd).
Cas de la plaque trouée
En projection orthogonale sur la plaque on a :
MH=MH' donc R-OM=O'M-R' d'où OM+O'M=R+R'
On obtient donc une ellipse de foyers les centres des cercles
