Polygones à 2n côtés:
Si un polygone convexe à n côtés, de longueurs C1,.......,Cn admet un cercle inscrit alors il existe n nombres réels positifs α1......αn tels que:
C1 = α1 + α2,...Cn = αn + α1
Cette propriété n'apporte rien si n est impair.
Mais si n est pair alors:
C1 - C2 + C3...- Cn = 0
La condition est nécessaire pour qu'un polygone convexe ayant un nombre pair de côtés admette un cercle inscrit,
hélas elle n'est pas suffisante comme le montre l'exemple d'un hexagone ayant tous ces côtés égaux mauis non régulier.
Réciproque :
Hélas elle est fausse comme le montre l'hexagone ci-dessous.
Tout ses côtés ont même longueurs, donc il vérifie la formule mais il n'admet de cercle inscrit.
