Cas d'un polygone concave ou cas de l'angle rentrant
Pour le non respect de la règle des surfaces d'égale pente, consultez cette page.
Tout grain de sable dans la zone AOA' ou BOB' tombe perpendiculairement à [OA] ou [OB].
Tout grain de sable dans la zone A'OB' tombe radialement sur O.
On obtient donc, le long de l'angle rentrant AOA', deux plans et un cône.
Si l'on considère les lignes de niveau le long du tas de sable on obtient, pour la partie conique, des arcs de cercle. En effet on a l'intersection d'un cône et d'un plan perpendiculaire à l'axe du cône.
Un exemple:
Equation de (D), bisectrice de Â
L'angle entre (D) et (Ox) étant égal à p/2 - pi/8 = 3p/8, le coefficient directeur de (d) est égal à tan(3p/8) = 1 + racine2
(D) passe par le point A(2;3) d'où l'équation : y = (1+racine2)(x-2)+3
Equation de la parabole (P) :
(P) est l'ensemble des points équidistants de F(0;1) et de (D) pour la portion de plan limitée par d, d' et (D).
(P)est donc la parabole de foyer F et de directrice (D).
Son équation est : y = x²/4
(D), (P), et d (d'équation y = -x + 1) se coupent en B (2 racine2- 2;3 - 2 racine2) qui est équidistant de F, (D) et la droite d'équation x = 2.
(P) et d' (d'équation y = x + 1) se coupent en C (2 - 2 racine2 ; 3 - 2 racine 2).
Equation de la parabole (P'):
(P') est l'ensemble des points équidistants de F (0;1) et de (D'), pour la portion de plan limitée par d' et (FE).
(P') est donc la parabole de foyer P et de directrice d' .
En notant H le projeté orthogonal de M sur (D') on a :*M(x;y)€ € (P') <==> MF = MH
<==> x² + (y - 1)² = (x + 2)²
<==> y² - 2y - 4x -3 = 0
D' = 1 + 4x +3 = 4(x + 1)
Donc y = 1+ 2 racine(x + 1) ou y = 1 - 2 racine(x + 1) .
Pour la partie (P') qui nous concerne on a : y = 1 - 2 racine(x + 1)
(P'), d' et (P) se coupent en C .