Calculons le volume du tas de sable d'un quadrilatère quelconque.

avec BC + AD > AB + CD et (AD) et (BC) se coupent du côté de [AB] mes (BAD) = a mes (CBA) = b mes (DCB) = c mes (ADC) = d

Divisons le tas de sable en trois sections :

Section 1

Cette section est formée de 4 tétraèdres :   V (1) = V (AMUP) + V (AUIP) + V (IBUP) + V (BKUP) = (UM*AM*UP)/6 + (UI*AI*UP)/6 + (UI*IB*UP)/6 + (BK*UK*UP)/6 = UP*(UI*AI + UI*AI + UI*IB + UI*IB)/6 avec UM = UI = UK et AM = AI et BK = IB = (UP*UI*AB)/3 avec AI + IB =AB

Section 2

Cette section est formée de 4 tétraèdres :   V (2) = V (CVLQ) + V (CVJQ) + V (DVJQ) + V (NVDQ) = (VL*CL*QV)/6 + (JV*CJ*QV)/6 + (JV*JD*QV)/6 + (NV*DN*QV)/6 = QV*(JV*CJ + JV*CJ + JV*JD + JV*JD)/6 avec JV = VL = NV et CL = JC et DN = JD = (QV*JV*CD)/3 avec CJ + JD =CD

Section 3

V (3) = V (PQLKUV) + V (PQNMUV)

Calculons ce volume en décomposant la figure en deux tétraèdres de sommet O

O étant le point d'intersection de (BC) et (AD).     V (PQLKUV) = V (VLQO) - V (PKUO) = (QV*VL)/3*OL/2 – (UK*UP)/3*OK/2 = OK/6*(QV*VL - UP*UK) + (QV*VL*KL)/6 avec OL = OK + KL   De même V (PQNMUV) = OK/6*(QV*NV - UP*UM) + (QV*NV*MN)/6

Calculons la longueur OK :

mes (BOA) = pi - mes (OAB) - mes (OBA)

= pi - ( pi - a) - ( pi - b) = a + b – pi

mes (KOU) = mes (BOA)/2 = (a + b – pi)/2

donc OK = UK/ tan(( a + b – pi)/2)

= - UI*cos((a+b)/2) / sin((a+b)/2) avec UI= UK

(Notons que a + b > pi > c + d)

  V (3) = V (PQLKUV) + V (PQNMUV)

= OK/6*(QV*VL - UP*UK) + (QV*VL*KL)/6 + OK/6*(QV*NV - UP*UM) + (QV*NV*MN)/6

= OK/6*(QV*VJ – UP*UI) + (QV*VJ*(KL+MN))/6 avec VJ = VL = NV et UI = UK = UM

 

  Le volume total est donc :

  V = V (1) + V (2) + V (3) = (UP*UI*AB)/3 + (QV*JV*CD)/3 + OK/6*(QV*VJ – UP*UI)+ (QV*JV*(KL+MN))/6

Or KL + MN = BC – BK – LC + AD – ND – AM = BC + AD – IB – AI – CJ – JD = BC + AD – AB – DC

et OK = - UI*cos((a+b)/2) / sin((a+b)/2)

or

et

(E est l'angle entre la base et les différentes faces latérales)

donc

Pour avoir la formule selon la plaque :

Dans le cas où (BC) et (AD) ne se coupent pas en O, la représentation de départ de cette démonstration est fausse. Cette formule ne devrait pas permettre de calculer le volume du tas de sable d'un trapèze, mais cela reste à démontrer.